Projet AlgoKnot : Étudier l'extérieur des noeuds mathématiques
Le projet AlgoKnot a pour objectif de faire progresser notre compréhension de certaines facettes de la théorie des nœuds en s'intéressant particulièrement à ses aspects algorithmiques et combinatoires, c’est-à-dire aux méthodes pour créer un algorithme et la façon de compter, d’organiser et de structurer des objets finis. La théorie des nœuds est un domaine des mathématiques qui étudie les différentes manières d’enchevêtrer une boucle fermée dans l’espace à trois dimensions, sans la couper ni la déformer de manière brutale. Si cette idée peut sembler simple, elle donne lieu à une richesse mathématique remarquable, à l’intersection de plusieurs disciplines comme la géométrie, l’algèbre, la combinatoire et la topologie, qui étudie les propriétés des objets qui restent inchangées lorsqu’on les déforme sans les casser ni les coller (un donut et une tasse à anse sont topologiquement équivalents, car ils ont un trou. On peut imaginer les déformer l’un en l’autre sans ajouter ni enlever de trou.)
L’ambition principale d’AlgoKnot est double :
- d’une part, développer une meilleure compréhension des invariants de nœuds, ces outils mathématiques qui permettent de distinguer ou de classifier les nœuds ;
- d’autre part, créer des algorithmes performants et des logiciels spécialisés capables de calculer efficacement ces invariants et d’explorer leurs interconnexions. En d’autres termes, il s’agit à la fois de faire avancer la théorie et de fournir des instruments concrets pour la recherche.
Les invariants de nœuds sont des quantités, des objets algébriques ou des structures qui ne changent pas lorsque l’on transforme un nœud sans le couper ni le coller. Ils sont essentiels pour savoir si deux nœuds sont équivalents ou pour détecter des propriétés spécifiques. Il en existe de nombreux types, issus de différentes approches mathématiques : polynômes (équations mathématiques), représentations algébriques (graphiques), homologies (description d’un objet par des éléments simples), etc. Ces invariants permettent de mieux cerner la complexité des nœuds, mais leur calcul est souvent coûteux en temps et en ressources informatiques.
Un autre volet fondamental du projet concerne l’expérimentation mathématique afin de vérifier des conjectures. Par cette approche, il contribue à faire émerger de nouvelles perspectives dans un domaine qui, tout en étant profondément théorique, reste étroitement lié à des problématiques scientifiques concrètes et actuelles.
Finalement, les propriétés algébriques, dites « quantiques », des nœuds permettent de modéliser des phénomènes physiques topologiques de la matière, c’est-à-dire la description de sa forme globale. De plus, ces propriétés sont au cœur de la construction potentielle d’un ordinateur quantique topologique, qui résisterait au bruit. En effet, les ordinateurs quantiques sont sensibles aux perturbations extérieures dont les vibrations. L’étude des algorithmes efficaces et de leur complexité nous permet donc de dessiner le périmètre de ce qu’une telle machine pourrait calculer.
Découvrez le portrait de Clément Maria à l'origine du projet AlgoKnot !